Definition

Es seien V eine Menge, (K, +, ×) ein Körper, ⊕: V × V → V eine innere zweistellige Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und ⊙: K × V → V eine äußere zweistellige Verknüpfung, genannt Skalarmultiplikation. Man nennt dann (V, ⊕, ⊙) einen Vektorraum über dem Körper K oder kurz K-Vektorraum, wenn (V, ⊕) eine abelsche Gruppe bildet und für die Skalarmultiplikation die Eigenschaften

S1: α ⊙ (u ⊕ v) = (α ⊙ u) ⊕ (α ⊙ v)
S2: (α + β) ⊙ v = (α ⊙ v) ⊕ (β ⊙ v)
S3: (α · β) ⊙ v = α ⊙ (β ⊙ v)
S4: 1 ⊙ v = v, wobei 1 ∊ K das Einselement in K sei

für alle u, v, w ∊ V und α, β ∊ K erfüllt sind.