..| : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :”-'\,
...\ : : : : : : : : : :'\: : : : : : : : : : : : : :~,,: : : : : : : : : “~-',_
... \: : : : : : : : : : :\: /: : : : : : : : : : : : : : : “,: : : : : : : : : : :,~,_
... .\: : : : : : : : : : :\|: : : : : : : : :_._ : : : : : : \: : : : : : : : : : : : :”-,
... ...\: : : : : : : : : : \: : : : : : : : ( O ) : : : : : : \: : : : : : : : : : : : : : '\._
... ... .\ : : : : : : : : : '\': : : : : : : :"*": : : : : : : :|: : : : : : : : : : : : : : : |0)
... ... ...\ : : : : : : : : : '\: : : : : : : : : : : : : : : :/: : : : : : : : : : : : : : : /""
... ... .....\ : : : : : : : : : \: : : : : : : : : : : : : ,-“: : : : : : : : : : : : : : : :/
... ... ... ...\ : : : : : : : : : \: : : : : : : : : _=" : : : : : ',_.: : : : : : : :,-“
... ... ... ... \,: : : : : : : : : \: :"”'~---~”" : : : : : : : : : : : : = :"”~~

Очень большой госдолг

Кайф

Мощностью множества называют количество его элементов. Мощности двух множееств можно сравнить, задав отображение. Множества М и К называются равномощными, если можно задать биектвеое отображение f:M->К. Будем обозначать Р(Х) все подмножества множества Х.

Теорема (Кантора): мощность всех подмножеств любого множества строго больше мощности самого множества. Доказательство: для пустого множества доказывается очевидно непосредственно й проверкой, поэтому положи м, что рассматриваемое множество не пусто. Пусть задано множество Х. Зададим отображение f:X->P(X). Инъективность такого отображения очевидна, ведь в Р(Х) есть все элементы множества Х по отдельности. Отсюда имеем, что мощность Р(Х) больше или равна мощности Х.

Теперь надо показать, что такое отображение не биективно. Предположим противное. Зададим множество А таких элементов x из множества Х, которые при отображении не принадлежат f(x). Так как отображение биектвеое, то найдется в Х такой элемент а, что f(a)=A. Если этот элемент а принадлежит А, то по условию множества А, элемент а не принадлежит А. Если же а принадлежит А, то по условию множества А, элемент а не принадлежит А. Получаем противоречие. Следовательно наше отображение не биективно. Что и требовалось доказать.