N I C E T O M E E T Y O U

Vamos considerar o exponencial e^x em sua forma de série infinita:
e^x=1+x/1+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+⋯=∑n=0,...,n=∞(x^n/n!) --> (1)

Usamos aqui um artifício que será muito útil para a dedução da identidade. Fazemos:
x=i z --> (2)

Substituindo (2) em (1):
e^(i z)=1+(i z)/1+(i z)^2/2!+(i z)^3/3!+(i z)^4/4!+⋯ --> (3)

Do estudo sobre números complexos, sabemos que:
i = 1 , i^2 = -1 , i^3 = -i , i^4 = 1 --> (4)

Substituindo (4) em (3), encontramos:
e^(i z)=1+(i z)−z^2/2!−i z^3/3!+z^4/4!+i z^5/5!−z^6/6!−i z^7/7!+z^8/8!+⋯

e^(i z)=(1−z^2/2!+z^4/4!−z^6/6!+z^8/8!−⋯)+i(z−z^3/3!+z^5/5!−z^7/7!+⋯) --> (5)

Da relação (5), podemos ver que as séries infinitas entre parênteses nos leva às conhecidas séries infinitas trigonométricas:
cos(z)=(1−z^2/2!+z^4/4!−z^6/6!+z^8/8!−⋯) --> (6)

sen(z)=(z−z^3/3!+z^5/5!−z^7/7!+⋯) --> (7)

Substituindo (6) e (7) na relação (5), obtemos:
e^(i z)=cos(z)+i sen(z)(8)

Se fizermos z=π, obteremos:
e^(i π)=cos(π)+i sen(π) --> (9)

No entanto, a trigonometria nos garante que cos(π)=−1 e sen(π)=0. Substituindo na relação (9), chegamos a:
e^(i π)=−1+i⋅0

Ou seja:
:white_pearl: e^(i π)+1=0 :white_pearl:
ForgetNTC

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